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Planck-Länge

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Es wird berechnet, wie weit 2 Elektronen sich annähern können. Dabei werden zwei Randbedingungen gesetzt:

• Die größtmögliche Kraft zwischen den Elektronen ist der Kehrwert der Proportionalitätskonstante aus der Feldgleichung von Einstein $\frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G}$ .
• Da die 2 Elektronen sich sehr nahekommen sollen, muss die Feinstrukturkonstante α verwendet werden. Die Kraft zwischen den Elektronen wird über ein Photon ausgetauscht und es muss eine Betrachtung aus quantenmechanischer Sicht gewählt werden.

Schritt eins ist der Vergleich der Kraft aus der Feldgleichung und der Kraft zwischen 2 Elektronen

Schritt zwei ist die Feinstrukturkonstante wegen dem Austausch eines Photons. Die größtmögliche Kraft muss um diesen Wert reduziert werden.

Schritt drei ist alles kürzen und nach dem Abstand r auflösen.

Elektronen können sich bis auf zwei Planck-Längen nähern. Dann würde die Kraft über das Maximum steigen. Wenn ein Photon ausgetauscht werden soll, dann muss die Wellenlänge größer der Planck-Länge sein. Das Photon ist sonst ein SL. Damit muss der Abstand größer als eine Planck-Länge sein.

Gleiches Ergebnis bekommt man, wenn man wieder die größtmögliche Kraft mit einer unbekannten Länge multipliziert, um eine Energie zu erhalten. Dieser Ausdruck wird mit $E\space =\space h\space *\space \nu$ vergleichen. Wobei die Wellenlänge in ν die Gleiche sein muss wie die Länge bei der Kraft. Daraus folgt:

Der Unterschied ist, dass h im Ergebnis, das reduzierte Wirkungsquantum sein muss. Daraus folgt, dass die größte Kraft $\frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G}$ oder $\frac{c^4}{4\space *\space G}$  sein kann. Je nachdem, ob man die reduzierte Sichtweise wählt oder nicht.

Auch beim Bekenstein-Limit wird als kleinste Grundfläche $2\space *\space 2l_P$ errechnet.

Es scheint so, dass in unserer Raumzeit eine geometrische Ausprägung immer mit mindestens zwei Planck-Längen angesetzt werden muss.