Dimensionale Physik
Alles besteht aus Raumzeit
Alles besteht aus Raumzeit
Nach der Superposition sollten doch eigentlich die Verschränkung und die Wahrscheinlichkeit kommen, da beide nur über das Konzept der Superposition zu verstehen sind. Das ist erstmal richtig. Wir werden aber zuerst die Grundelemente der QM besprechen. Damit das Konzept für die gesamte QM früh erkennbar ist. Die jeweiligen weiteren Ableitungen aus diesen Grundelementen kommen dann später. Es ist ein beliebter Streitpunkt in der QM, ob die Superposition oder die Unschärfe das entscheidende „Grundelement“ der QM ist. Oft wird argumentiert, dass durch die Superposition (nicht lokal) eine Unschärfe gegeben ist oder umgekehrt. Wir verfolgen hier einen anderen Aufbau. Aus der Sicht der DP hat die QM 4 Kernelemente:
Daher werden wir die Unschärfe einmal durchexerzieren. Dann haben wir bereits hier schon alle Grundelemente der QM besprochen. Der Aufbau der Elementarteilchen und die Wechselwirkungen können dann mit einer kleinen zusätzlichen Idee hergeleitet werden. Da wird uns wie immer die Geometrie führen.
Wir starten erstmal mit einer Erklärung zur Unschärfe. Die Unschärfe ist nicht in der Grundlage der verwendeten Mathematik eingebaut wie bei der Superposition. Diese ergibt sich tatsächlich erst durch den Lösungsansatz, z.B. über die Schrödingergleichung. Die Unschärfe wurde rein mathematisch gefunden. Daher hat sich die Interpretation der Unschärfe mit der Zeit geändert. Aber jetzt ein Schritt nach dem anderen.
Der offizielle Name ist die Heisenbergsche Unschärferelation. Gefunden hat diese Werner Heisenberg im Jahre 1927. Diese konnte erst nach der Schrödingergleichung (1926) kommen und musste auch gefunden werden. Die Unschärferelation wurde nicht wie die Superposition in der grundsätzlichen mathematischen Beschreibung eingebaut. Diese hat sich nachträglich gezeigt.
Heisenberg hat nicht die heute übliche exakte Formulierung gefunden. Seine Beschreibung war noch:
\Delta p\space *\space \Delta x\space \approx\space h
Um die Formel zu erklären, erklären wir den offiziellen Namen.
Der Teil „Heisenbergsche“ kommt klar von Heisenberg. Die heutige Formulierung, die wir im Folgenden auch benutzen werden, ist bereits wenige Monate später von Earle Hesse Kennard gefunden worden. Dies ist aber das gleiche Prinzip, wie bei den Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik. Er hat die Grundidee entwickelt und diese tragen seinen Namen, auch wenn er die heutige Formulierung mit 4 sehr kurzen Gleichungen zu seinen Lebzeiten nie gesehen hat. Daher passt der Teil „Heisenbergsche“ für mich.
Der Teil „Relation“ kommt von dem mathematischen Zeichen \approx. Heisenberg hat keine Gleichung aufgestellt, sondern nur eine Relation. Die Beziehung zwischen x und p ist klar und auch die Größenordnung. Es ist aber keine exakte Gleichung. Daher eine Relation. Später ist es eine Ungleichung geworden. Der etwas ungenauere Begriff Relation ist hier gut genug, der passt.
Der Teil „Unschärfe“ ist etwas schwieriger. Da brauchen wir mehrere neue Abschnitte.
Klären wir was unter einer Unschärfe zu verstehen ist. Das Zeichen \Delta beim p oder beim x ist nicht der gemessene Wert für den Impuls oder den Ort. Mit \Delta p ist die Abweichung von Mittelwert des Impulses aus vielen Messungen gemeint. Diese Standardabweichung hat in der Mathematik das Zeichen \sigma. Tatsächlich hat Kennard für die exakte Formulierung dies auch so gewählt:
\sigma_p\space * \sigma_x\space \ge\space \cfrac{\hbar}{2}
Warum auch immer, hat sich die aus meiner Sicht irreführende Schreibweise mit dem \Delta durchgesetzt. Damit ist nun die Bezeichnung „Unschärfe“ geklärt. Es geht in dieser Ungleichung immer um die Abweichung vom Mittelwert und nicht um den Messwert selbst. Die Ungleichung macht eine Aussage wie nahe dran oder weit weg ist man vom Mittelwert, damit eine Unschärfe.
Bei der physikalischen Interpretation hat man am Anfang auf das falsche Pferd gesetzt. Woher soll den die Unschärfe kommen? In der klassischen Mechanik gab es dieses Konzept nicht. Dort konnte man rein theoretisch, eine Messung bis zur absoluten Exaktheit durchführen. In der QM ist bei ungefähr h das Ende der Genauigkeit erreicht. Das ist die Aussage der Ungleichung. Daher ist man auf die Idee gekommen, dass diese Unschärfe etwas mit der Wechselwirkung beim Messprozess zu tun hat. Das Zeichen h steht für eine Wirkung. Bei der Relation geht es um eine gleichzeitige Messung von Ort und Impuls. Um etwas messen zu können brauchen wir eine Wechselwirkung. Wenn wir nun den Ort eines Teilchens messen wollen, dann durch eine Wechselwirkung mit z.B. einem Photon. Das Photon hat aber einen Impuls, der auf das Teilchen übertragen wird. Damit ist der Wert vom Impuls bei dieser Messung verändert.
Diese Idee hat sich lange gehalten. Zum Glück hört man davon nur noch im historischen Kontext. In der heutigen Interpretation geht man davon aus, dass wir für die Unschärfe keine Wechselwirkung benötigen. Diese ist grundsätzlich vorhanden. Es kommt nur auf die mögliche Kombination der Messgrößen an.
Die Unschärfe ist eine Abweichung von einem Mittelwert bei einer Messung. Um einen Mittelwert bilden zu können, benötigen wir mindestens zwei Messwerte. Was für eine Aussage triff dann die Unschärfe für ein einzelnes Teilchen oder eine einzelne Messung? Klare Ansage, keine Aussage möglich. Die Unschärfe ist in dieser Herleitung eine rein statistische Aussage. Bei einer einzelnen Messung ist die Abweichung genau null und die Relation ist verletzt.
Ab hier wird es komisch. Sobald ich viele Messungen mach, muss sich jeder einzelne Messwert an die Unschärfe halten. Wenn ich eine einzelne Messung mache, ist dies nicht relevant. Viele Messungen bestehen aber aus einzelnen Messungen. Also was den jetzt?
Tatsächlich ist dies eine offene Interpretationsfrage in der QM. Da gibt es zwei Auslegungen:
Wir werden später eine Mischung aus beiden bekommen. Wenn man Anhänger der Koppenhagener Deutung ist, dann sind beide Positionen nicht so weit auseinander. Ein Teilchen existiert dort nur bei einer Messung. Es bleibt nur das Problem mit einer oder viele Messungen.
Bei der Unschärfe gibt es leider auch einiges an „Folklore“ zu dem Thema. Dass sind dann Sprüche, die jedem bekannt sind. Beispiel: „Wenn ich den Ort immer genauer bestimmen, dann wird der Impuls immer ungenauer und umgekehrt. Ist der Ort exakt bestimmt, dann ist der Impuls vollständig unbestimmt.“. Sprüche dieser Art geistern einige durch die Köpfe. Leider ist die Aussage beim Beispiel falsch. Hier hat man den Sachverhalt so weit vereinfacht, dass die Aussage falsch wird. Ein Fehler, der mir leider selbst mehr als einmal passiert ist. Mathematik hat eindeutig Vorteile.
Selbstverständlich können wir laut der QM den Impuls und den Ort von einem Teilchen gleichzeitig zu 100% exakt messen. Dazu müssen wir nur den Impuls in eine Richtung messen und den Ort in einer anderen Richtung. Die Unschärferelation gilt bei Impuls und Ort nur, wenn wir beides in der identischen Richtung gemessen wird. Hier ist die Unschärferelation abhängig von der Richtung der Messung.
Damit nicht genug, es gibt Messgrößen, wo die Unschärfe gar nicht relevant ist. Das passiert nur bei bestimmten Kombinationen. Dazu verwendet man in der QM den mathematischen Ausdruck des Kommutators. Das ist ausgeschrieben:
\big[\hat{A},\hat{E}\big]\space =\space \hat{A}\hat{E}\space -\space \hat{E}\hat{A}
Bei normalen Zahlen kommt da immer null raus und die Unschärfe gibt es nicht. In der QM sind aber Observablen gemeint. Das sind beobachtbare Größen. Das sind dann keine Zahlen, sondern „selbst adjungierte lineare Operatoren“. Da kommt evtl. keine null raus. Das passiert, wenn wir \hat{A}\space =\space p und \hat{E}\space =\space x setzen. Tatsächlich ist es noch etwas komplizierter, da die Wellenfunktion auch noch mit reinspielt. So genau brauchen wir dies hier aber nicht.
Hier hören wir mit der Erklärung der Unschärferelation besser auf. Wir sehen, dass es verschiedene Kombinationen von den Messgrößen mit unterschiedlichen Verhalten gibt:
Wie immer in der QM gibt es dazu keine physikalische/logische Erklärung. Das steckt in der Mathematik mit den Kommutatoren. Tatsächlich kommt die Unschärferelation bei verschiedenen mathematischen Betrachtungen zustande. Daher können wir dies als mathematisch sehr gut abgesichert ansehen. Das ist uns zu wenig. Schauen wir mal, ob wir da eine logische Erklärung finden.
Versuchen wir das, was wir haben auf die DP anzuwenden. Wir bleiben beim Beispiel mit Impuls und Ort. Wir wiederholen die Formel von Heisenberg:
\Delta p\space *\space \Delta x\space \approx\space h
In dieser Form sieht man den Zusammenhang noch nicht gut. Daher schreiben wir mal nur die Maßeinheiten auf der linken Seite dazu:
\Delta p[m\space *\space v]\space *\space \Delta x[l]\space \approx\space h
Da steht [Masse\space *\space Geschwindigkeit]\space *\space [Länge]\space \approx\space h. Das Zauberwort, um das Rätsel zu lösen heißt Planck. Es geht bei der Unschärfe immer noch um eine Messung in unserer Raumzeit. Dan setzen wir doch mal die charakteristischen Planck-Werte für unsere Raumzeit in die Relation ein:
(m_P\space *\space c)\space *\space l_P\space \approx\space h
Dann dürften wir aus dem \approx sogar ein = machen. Das ist unsere Definition von h über die niederdimensionale Grenze.
Wir erzeugen damit folgende Forderung: In der Gravitation darf es keine Unschärfe geben. Die Unschärfe bedingt eine Wechselwirkung. Damit hängt diese an einer Wechselwirkung über die niederdimensionale Grenze. Die Wechselwirkung bedingt eine Unschärfe und nicht der Zustand. Damit haben wir mit unserem Modell eine 3D Raumzeitdichte mit unendlich vielen 2D Ausprägungen kein Problem mehr mit der Unschärfe. Gravitation und Unschärfe bedingen sich gegenseitig nicht, da es in einem Zustand in 3D keine Unschärfe gibt.
Damit gehen wir auf die Interpretation, dass die Unschärfe nur im Messprozess auftaucht. Der Zustand spielt keine Rolle.
Jetzt dürfen wir uns von der Formel für die Definition von h nicht ablenken lassen. Wir haben auf der linken Seite zwei getrennte Abweichungen von zwei Messwerten und nicht eine Abweichung von h. Wir prüfen, ob die Planck-Werte hier überhaupt einen Sinn ergeben.
Die kleinste Wirkung in unserer Raumzeit ist h. Damit sollte eine Abweichung, die zusammengenommen eine Wirkung ergibt die Formel eher so aussehen:
(m_P\space *\space c)\space *\space l_P\space \ge\space h
Wir kommen nicht unter ein h. In der exakten Formel ist beim h aber ein 4\pi im Nenner. Damit kommen wir unter ein h in der Wirkung. Das sieht nach einem Fehler aus. Wenn wir der reinen statistischen Interpretation folgen, haben wir kein Problem. Rein mathematisch kann es für eine Abweichung von einem Mittelwert Werte geben, die es bei der einzelnen Messung nicht gibt. Beispiel: Die mittlere Anzahl der Augen auf einem Würfel ist 3,5. Den Wert finden wir auf dem Würfel nicht. Hier ist bereits der Mittelwert bei einer einzelnen Messung nicht möglich. Mit der Abweichung das Gleiche. Wir wollen aber auch eine Logik je einzelne Messung haben. Dann kommen wir mit dem rein mathematischen Argument nicht weiter.
Wir brauchen zur Abbildung einer Raumzeitdichte immer eine Länge. Eine Wirkung verändert die Raumzeitdichte. Damit muss immer eine Länge beteiligt sein. Eine Länge ist in einer Wechselwirkung nicht auf l_P genau messbar. Wenn wir bei einem Messprozess und damit auch bei der Abweichung auf eine Planck-Länge kommen wollen, erzeugen wir ein Schwarzes Loch in 3D, das wiederum keine 2D Abbildung besitzt und damit nichts mit der QM zu tun hat. Tatsächlich müssen wir daher bei der Planck-Länge eine 2 multiplizieren. Wir kommen damit auf die kleinste mögliche Abweichung. Diese nehmen wir auf die andere Seite und haben dann:
(m_P\space *\space c)\space *\space l_P\space \ge\space \cfrac{1}{2}h
Das sieht schon besser aus. Diese \frac{1}{2} müssen damit immer auftreten.
Fehlen uns noch 2\pi. Das Problem kennen wir schon. Bei der Proportionalitätskonstante k in der Feldgleichung von Einstein waren es noch 8\pi . Da war es 4\space *\space 2\pi . Je Raumzeitrichtung 2\pi. Hier haben wir nur eine Richtung und es fehlen 2\pi.
Es fehlt aber noch ein echter Grund für die Unschärfe. Besonders der Grund, warum es diese nur bedingt existiert und nicht immer gültig ist. Bei der bisherigen Argumentation müsste diese immer gültig sein.
Die Unschärfe lässt sich logisch sehr einfach erklären. Wir müssen auf unseren ersten Ansatz zurück. Alle Energieformen sind eine Abbildung als Raumzeitdichte in der Geometrie der Raumzeit. Die Unschärfe selbst ist bereits in der Raumzeitdichte mit definiert.
Das Grundproblem bei einer Messung ist, dass wir Messgrößen kombinieren, welche in der Raumzeitdichte die identische Größe messen. Belieben wir beim Beispiel mit Ort und Impuls.
Wollen wir den Ort in x-Richtung exakt messen, dann schränken wir damit die mögliche Länge in dieser Richtung ein. Nichts anderes ist eine Ortsmessung. Wenn wir nun aber noch den Impuls messen wollen, dann brauchen wir viel Länge. Der Impuls ist eine Raumzeitdichte zu seiner Umgebung. Wenn ich wir die Länge der Raumzeitdichte messe, dann hat diese in der Raumzeitdichte für sich keinen Impuls. Diesen bekommen wir nur, wenn wie diese Definition der Raumzeitdichte mit der umgebenden Raumzeitdichte vergleichen können. Wenn wir den Ort exakt messen, dann haben wir für den Impuls keine „umgebende“ Raumzeit mehr um den Impuls bestimmten zu können. Wollen wir den Impuls exakt bestimmen, dann brauchen wir für den exaktesten Wert die gesamte Länge der x-Richtung. Dann ist die Ortsangabe unbestimmt. Da wir das identische Objekt messen, schließt eine bestimmte Messung die Grundlage für die andere Messung aus. Daher haben wir kein Problem bei einer Orts- und Impulsmessung in unterschiedlichen Richtungen oder von unterschiedlichen Objekten.
Die Unschärfe funktioniert auch, wenn wir das identische Objekt mit unterschiedlichen Methoden messen. Als Beispiel hier nehmen wir die Unschärfe von Zeit und Energie. Dann bekommt diese Unschärfe allerdings einen etwas anderen Charakter. Das kommt daher, dass die eine Messung (Zeit) nicht die andere Messung (Energie) beeinträchtigt, sondern dass eine längere Zeitmessung identisch ist mit einer genaueren Energiemessung ist. Energie ist die Raumzeitgeometrie. Diese gibt aber bereits über die Längenkontraktion die „Entfernung“ zur Raumzeitgrenze an. Die Zeit ist exakt die gleiche Messung. Messe wir die Zeit, so messen wir die Energie.
Das die Unschärfe nicht ein nur an der Quantenmechanik hängen kann kommt auch aus der Mathematik. Wir können zwischen der Impuls- und der Ortsdarstellung der Beschreibung wechseln. Das wird über eine Fourier-Transformation gemacht. Diese Transformation beinhaltet bereits eine Form der Unschärfe zwischen den Darstellungen. Daher muss die Unschärfe aus der gemeinsamen Betrachtung eines identischen Objektes stammen.
Damit ist die Unschärfe für unsere Zwecke exakt genug beschrieben. Wichtig für uns ist, dass die Unschärfe bereits in der Definition der Raumzeitdichte steckt und nur über die Raumzeitgrenze, mit der Wirkung h, mit der QM verbunden ist. Die Unschärfe selbst ergibt sich aber nicht aus der QM.