Grundlegende Größen

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In der DP müssen dieselben grundlegenden Größen wie in der QFT relevant sein. Die Lichtgeschwindigkeit c, die Gravitationskonstante G und das Plancksche Wirkungsquantum h. Diese werden hier betrachtet. In der DP wird bei den Definitionen statt h die Planck-Länge benutzt. Es wird gezeigt, dass die geringste Annäherung von DRD zwei Planck-Längen sind und ein direkter Zusammenhang zwischen einem Schwarzschildradius und der Compton-Wellenlänge besteht.

Lichtgeschwindigkeit c

Die LG ist in der DP nicht einfach als Postulat ein Grenzwert. Dadurch, dass wir die DRD immer als Bewegungszustand definiert haben, muss es eine maximale Geschwindigkeit geben. Die LG ist als nieder-dimensionalen Grenze eine explizite Grenze in jedem Universum.

Die DP stimmt mit der QFT bei der LG als Grundgröße überein.

Gravitationskonstante G

In der DP werden alle Kräfte auf eine Art von Gravitation über verschieden dimensionale Universen hinweg aufbauen. G muss daher wie c über die Definition der Raumzeit eine elementare Aussage treffen. Die Gravitationskonstante ist die Größe, wie eine Raumdimension (Länge) innerhalb der Grenzen der Raumzeit auf die Energie/DRD reagiert.

G = \frac{Raumlänge\space *\space Grenzen der Raumzeit}{Energie}   ⇔  \frac{Länge1\space *\space c^4}{E}  ⇔  \frac{Länge1\space *\space c^4}{\frac{h\space *\space c}{Länge2}}   ⇔ \frac{Länge1\space *\space  Länge2\space *\space c^4}{h}

Wird für die Länge2 die Planck-Länge gewählt, so muss auch die Länge1 auf diesen Wert gesetzt werden. Damit erhält man die Definition:

G = \frac{l_P^2\space *\space c^3}{h} , was die Lehrbuchdefinition von G darstellt.

G wurde so definiert, dass für die Energie der Übergang in ein SL gegeben ist. Daraus lassen sich zwei wichtige Aussagen herleiten:

• Mit dieser Definition von G wird die Bedeutung der Planck-Länge gleich mitgeliefert. Wir im nächsten Abschnitt beschrieben.
• Die LG definiert die nieder-dimensionale Grenze. G definiert mit der Annahme A-03 (SL als Übergang) die höher-dimensionale Grenze. Damit ist G wie auch c eine dimensionale Grenze in jedem Universum.

Die DP stimmt mit der QFT bei der Gravitationskonstante als Grundgröße überein.

Planck-Länge l_P

Die Größe h könnte verwendet werden. Aus der geometrischen Sicht der DP und der Definition von G ist es besser die Planck-Länge zu benutzen. Diese lassen sich einfach ineinander umrechnen. Wenn eine DRD räumlich zu null wird, fällt diese aus unserem Universum raus. Daher muss es eine kleinste räumliche Größe für eine DRD oder für den Abstand zwischen zwei DRDs geben.

Wie man in der Definition von G erkennen kann, gibt es eine Länge, ab welcher eine DRD, in der nieder-dimensionalen Ausprägung (z.B. Photon) nicht mehr weiter verdichtet werden kann. Damit ist die Planck-Länge die Strukturgröße welche die nieder-dimensionale und die höher-dimensionale Grenze verbindet.

In der Physik wird fast immer h oder ℏ benutzt. Die klassische Physik wie auch die Quantenmechanik bauen stark auf dem Langrange-Formalismus auf. Daher wird aus G, c und l_P die Größe h gebildet. Dann kann mit einer Wirkung gerechnet werden. Hier nochmal die Umrechnungen, da diese in Folge benötigt werden:

 h = \frac{c^3\space *\space l_P^2}{G} ;  G = \frac{c^3\space *\space l_P^2}{h} ; l_P = \sqrt{\frac{h\space *\space G}{c^3}}

Abstand von zwei elektrischen Ladungsträgern

Es wird berechnet, wie weit 2 Elektronen sich annähern können. Dabei werden zwei Randbedingungen gesetzt:

• Die größtmögliche Kraft zwischen den Elektronen ist der Kehrwert der Proportionalitätskonstante aus der Feldgleichung von Einstein \frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G} .
• Da die 2 Elektronen sich sehr nahekommen sollen, muss die Feinstrukturkonstante α verwendet werden. Die Kraft zwischen den Elektronen wird über ein Photon ausgetauscht und es muss eine Betrachtung aus quantenmechanischer Sicht gewählt werden.

Schritt eins ist der Vergleich der Kraft aus der Feldgleichung und der Kraft zwischen 2 Elektronen

\frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G} = \frac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon\space *\space r^2}

Schritt zwei ist die Feinstrukturkonstante wegen dem Austausch eines Photons. Die größtmögliche Kraft muss um diesen Wert reduziert werden.

\frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G}\space *\space \frac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon\space *\space c\space *\space h} = \frac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon\space *\space r^2}

Schritt drei ist alles kürzen und nach dem Abstand r auflösen

\frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G}\space *\space \frac{1}{c\space *\space h} = \frac{1}{r^2}  ⇔  r^2 =  4\space *\space \frac{h\space *\space G}{c^3}   ⇔  r =  2\space *\space l_P

Elektronen können sich bis auf zwei Planck-Längen nähern. Dann würde die Kraft über das Maximum steigen. Wenn ein Photon ausgetauscht werden soll, dann muss die Wellenlänge größer der Planck-Länge sein. Das Photon ist sonst ein SL. Damit muss der Abstand größer als eine Planck-Länge sein.

Gleiches Ergebnis bekommt man, wenn man wieder die größtmögliche Kraft mit einer unbekannten Länge multipliziert, um eine Energie zu erhalten. Dieser Ausdruck wird mit E = h * ν vergleichen. Wobei die Wellenlänge in ν die Gleiche sein muss wie die Länge bei der Kraft. Diese Länge wird als Planck-Länge festgesetzt. Daraus folgt

\frac{c^4}{8\space *\space \pi\space *\space G}\space *\space l_P\space  =\space  h\space *\space \frac{c}{l_P}   ⇔   l_P^2 = 4\space *\space \frac{h\space *\space G}{c^3}

Der Unterschied ist, dass h im Ergebnis, das reduzierte Wirkungsquantum sein muss. Daraus folgt, dass die größte Kraft   oder   sein kann. Je nachdem, ob man die reduzierte Sichtweise wählt oder nicht.

Abhängigkeiten zur Planck-Länge

Für die Logik der DP gibt es einen wichtigen Zusammenhang vom Schwarzschildradius mit der Compton-Wellenlänge über die Planck-Länge. Dieser wird hier hergeleitet.

Startpunkt ist die Gleichung E = h * ν für die Energie eines Objektes unter Verwendung der Wellenlänge. Für h wird die Darstellung mit der Planck-Länge gewählt. Aus der Darstellung wird ein c² separat rausgezogen.

E = h * ν   ⇔   E =  \frac{c^3\space *\space l_P^2}{G}\space  *\space \frac{c}{\lambda}    ⇔    \frac{c^3\space *\space l_P^2}{G\space *\space \lambda}\space *\space c^2

Bei Betrachtung der Darstellung kommt man auf die Formel E = m * c² und kann für eine Ruhemasse folgenden Ausdruck definieren:

Eine Masse-Energie-Äquivalent kann auch größer sein, da hier kein Impuls enthalten ist. Die Ruhemasse kann aber nicht kleiner sein. Dieser Ausdruck für eine Masse wird nun in der Formel für den Schwarzschildradius benutzt.

r_S\space =\space  \frac{2\space * G\space *\space M}{c^2}   ⇔   \frac{2\space * G\space}{c^2}\space *\space \frac{c^3\space *\space l_P^2}{G\space *\space \lambda}    ⇔  \frac{2\space *\space l_P^2}{\lambda}

Es ergeben sich zwei wichtige Aussagen:

• In der Formel r_S\space =\space \frac{2\space *\space l_P^2}{\lambda} wird die Wellenlänge λ durch die Wellenlänge für ein SL, die Planck-Länge ersetzt. Dann ergibt dies r_S\space =\space 2\space *\space l_P. Das kleinstmögliche SL in unserem Universum hat einen Schwarzschildradius von mindestens zwei Planck-Längen.
• Nach der Planck-Länge aufgelöst ergibt sich l_P\space =\space \sqrt{\frac{r_S\space *\space \lambda}{2}}. Da die Planck-Länge eine Konstante ist, kann weder der Schwarzschildradius noch die Compton-Wellenlänge null oder unendlich werden. Über die Planck-Länge erhält man einen Zusammenhang für die Darstellung einer DRD und der Gravitation. Damit ist nicht die Raumzeit selbst, sondern die Gravitation und die DRD in ihren unterschiedlichen Darstellungen gegenseitig, an dieses Limit gebunden.

Wirkungsquantum h

Das Plancksche Wirkungsquantum h, stellt auf Grund der Definition von G, die Verbindung von 3D zu 2D dar. Die verwendete Länge ist bereits mit der Planck-Länge identifiziert.

G =  \frac{Raumlänge * Grenze der Raumzeit}{Energie} ⇔  \frac{l_P\space *\space c^4}{E}

Nun wird ein c in \frac{l_P}{t_T} zerlegt. Dann ergibt sich die Definition von G mit einem h.

G = \frac{l_P\space *\space l_P\space *\space c^3}{E\space *\space l_T}   ⇔  \frac{l_P^2\space *\space c^3}{h}

Nun ist G in einer Raumzeit mit nur zwei Raumdimensionen definiert. Daraus folgt, dass h in 2D eine Wirkung ist und jede Energie in „Portionen“ von h auftreten muss.  In 2D ist h eine zusätzliche Einschränkung in der Struktur der Raumzeit. Daher können alle WW nur in h erfolgen.