7   Planck-Skala

leer

Die Planck-Skala stellt entweder eine kleinstmögliche oder eine größtmögliche Einheiten da. Wir wollen nicht alle Werte der Planck-Skala anschauen. Für die erste Untersuchung reichen aus die Wirkung, die Länge, Die Gravitationskonstante, die Lichtgeschwindigkeit und die Masse. Zusätzlich stellen wir noch einen Vergleich der Kraft der elektrischen Ladung zur Gravitation an. Dieser Vergleich wird später bei der Erklärung der Ladung nochmals wichtig. Diese Untersuchung klärt, dass wir mit dem Planck-Skalen in der DP rechnen können. Insbesondere der Wert \[HBar]/2 ist eine zentrale Größe in der QFT. Es wird geklärt, warum gerade dieser Wert so entscheidend ist. Damit die Rechenwege alle „abgegrast“ sind nehmen wir hier an einer Stelle den explizit längeren Weg.

Grundgrößen der Planck-Skala

In der QFT sind die drei Grundgrößen h das Plancksche Wirkungsquantum, G die Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit. Schauen wir uns die Grundgrößen an, wie weit wir damit in der DP arbeiten können.

Die Gravitationskonstante G ist auch in der DP eine Grundgröße. Wir wollen in der DP alle Kräfte auf eine Art von Gravitation über verschieden dimensionale Universen hinweg aufbauen. Damit stellt G für alle auftretenden Kräfte die Basis da. Damit stimmt die DP in ihrer Logik mit der QFT bei G als Grundgröße überein.

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in der DP nicht einfach als Postulat ein Grenzwert. Dadurch, dass wir die DRD definiert haben muss es einen maximale Geschwindigkeit geben. Die Dimension in Richtung Impuls kann nicht verschwinden oder maximal Null sein. Daher muss es eine Begrenzung geben. Wenn diese Dimension nicht vorhanden ist, wie zum Beispiel bei einen Photon, muss sich das Objekt mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die Lichtgeschwindigkeit ist mit der nieder-dimensionalen Grenze eine explizite Grenze in jedem Universum. Damit stimmt die DP in ihrer Logik mit der QFT bei der Lichtgeschwindigkeit als Grundgröße überein.

Bei der letzten Größe h gibt es erst mal aus der DP heraus keinen Grund für eine quantisierte Wirkung zwischen den Objekten. Deshalb gehen wir in der DP auf eine andere Größe. Wenn eine DRD räumlich zu Null wird, fällt diese aus unseren Universum raus. Daher muss es eine kleinste räumliche Größe geben ab welcher wir im Universum eine DRD erkennen können. Wir benutzen die vektorielle DRD. Diese muss in Richtung des Impulses noch eine räumliche Auflösung haben. Sonst können wir den Impuls nicht erkennen. Auf Grund der geometrischen Abbildung der DRD muss eine räumliche Größe vorhanden sein. Daher gehen wir in der DP davon aus, dass die Planck-Länge die dritte Grundgröße ist und alle weiteren Größen der Planck-Skala sich aus c, G und l_P als Planck-Länge sich errechnen lassen. Glücklicher weise kann man h nur aus c, G und l_P bilden. Das wird im folgenden Unterpunkt dargestellt. Damit kann überall in der QFT wo in h auftaucht (und das kommt oft vor) ein Term aus c, G und l_P geschrieben werden. Ist einfach nur eine Umrechnung wie Millimeter in Meter.
Damit stimmt die DP in der Logik mit der QFT bei l_P oder h überein.

Planck-Länge aus Dimensionsanalyse (nicht Raumdimension, Maßeinheit)

Wir wollen nun mit G, c und h einer Länge l_P erhalten. Damit das laut den Maßeinheiten einen Sinn macht formen wir wie folgt um. G muss in den Nenner und c in den Zähler. Dann brauchen wir wegen den Maßeinheiten c^3 und zusätzlich ein Länge quadriert. Damit sind die Einheiten auf beiden Seiten gleich. Dieses Länge ist dann die Größe nach der wir auflösen. Die Berechnung ergibt folgenden Wert

Die Maßeinheiten für die verwendeten Grundgrößen sind

Die Grundgrößen können nur auf dieser Art in den Term aufgenommen werden, sonst erhält man nicht h.

Daraus folgt für l_P die einfache Formel

Damit haben wir das gewünscht Ergebnis, dass h und l_P nur eine Umrechnung mit G und c darstellen.

Ansatz für Faktor \frac{1}{2} über die Definition der Planck-Länge

Bei den Grundgrößen sind sich die DP und die QFT einig. Daher auch bei der kompletten Planck-Skala. Bleibt noch die Frage offen, woher kommt den der Faktor \frac{1}{2} ? Für diesen Faktor muss es aus der Logik der DP heraus einen Grund geben, denn nicht h sondern \frac{h}{2} ist fast immer die untere Grenze. Zusätzlich wird in der modernen Physik nicht h sondern \hbar benutzt.

Der Unterschied zwischen h und \hbar ist nur ein \frac{1}{2\space *\space \pi}. Ist das Gleiche wie bei h und l_P, einfach ein Umrechnungsfaktor. Benutzt man eine Wellenlänge \lambda, dann h. Benutzt man eine Kreisfrequenz \omega, dann \hbar. Ist für mich eine Geschmacksfrage. Wir bleiben in der DP beim h oder besser l_P.

Als ersten Lösungsansatz versuchen wir die beiden Faktoren \frac{1}{2} und \frac{1}{2\space *\space \pi} einfach in die Definition der Planck-Länge mit aufzunehmen. Dann rechnen wir mit dieser Planck-Länge über die Planck-Masse und die Feinstrukturkonstante aus. In der QFT spielte diese Konstante eine große Rolle. Daher sollte wir als Ergebnis diese wieder erhalten. Bei diesen Ansatz machen wir was ganz unprofessionelles und rechnen einfach alle möglichen Varianten durch. Ist nur etwas länglich aber nicht schwierig.

Planck-Länge mit den Faktoren

Wir schreiben die Formel mit Ergebnis für alle mögliche h-Varianten auf.

\Box\space \space l_{Ph}\space =\space \sqrt{\dfrac{h\space *\space G}{c^3}} für die Planck-Länge aus h

\Box\space \space l_{Ph2}\space =\space \sqrt{\dfrac{h\space *\space G}{c^3\space *\space 2}} für die Planck-Länge aus \dfrac{h}{2}

\Box\space \space l_{Phq}\space =\space \sqrt{\dfrac{h\space *\space G}{c^3\space *\space 2\space *\space \pi}} für die Planck-Länge aus \hbar

\Box\space \space l_{Phq2}\space =\space \sqrt{\dfrac{h\space *\space G}{c^3\space *\space 4\space *\space \pi}} für die Planck-Länge aus \dfrac{\hbar}{2}

Dann rechnen wir alle Varianten durch.

c = 299792458 \dfrac{m}{s}

G = 6,6743015 * 10^-11\space \dfrac{m^3}{kg\space *\space s^2} 

h = 6,62607015 * 10^-34\space \dfrac{kg\space *\space m^2}{s}

leer

leer

leer

leer

Planck-Masse mit den Faktoren

Für die Planck-Masse benutzen wir das Argument mit der kleinstmöglichen räumlichen Auflösung, damit die Logik konsistent bleibt. Wir bauen die Logik auf die Auflösung der vektoriellen DRD auf. Ein Objekt welches nur aus vektorieller DRD (Impuls) besteht ist das Photon. Daher gehen wir über die Wellenlänge eines Photons und geben dieser die Planck-Länge. Hat das Photon eine Wellenlänge \lambda\space =\space l_P, so muss die Energie in dem Photon ausreichen, damit das Objekt aus unserer Raumzeit raus fällt. Es muss sich ein SL bilden. Ein SL ist ein Übergang in ein Universum mit einer anderen Anzahl von Dimensionen. Da die Planck-Länge die kleinstmögliche Längeneinheit ist, kann es kein Photon mit kleineren \lambda geben. Das Photon muss dann eine Energiemenge(Masse Equivalent) haben, welche zur Bildung eines SL ausreichend ist. Daher errechnen wir die Planck-Masse mit der Masse von einem aus einen Photon erzeugten SL. Wir benutzen absichtlich nicht die Dimensionsanalyse oder die Compton-Wellenlänge. Die Argumentation folgt strikt der Logik der DP.
Der SSR = r_S wird mit r_S\space =\space \frac{2\space *\space G\space *\space M}{c^2} errechnet. Wir müssen den SSR doppeln, da wir den Durchmesser des SLs benötigen. Damit ist die Masse des SLs gleich der Energie des Photons bei kleinster Wellenlänge. Diese Masse muss die Planck-Masse m_P sein.

Alternativ geht auch die Masse über die kleinste Wellenlänge mit dem direkten Vergleich der Energie einer Ruhemasse und der Energie des Photon
E\space =\space M\space *\space c^2\space =\space h\space *\space \dfrac{c}{\lambda}\space \space \implies\space \space m\space =\space \dfrac{h}{c\space *\space l_P}.

Wir verwenden den SSR.
Wir schreiben wieder alles für die vier Varianten:

\Box\space \space m_{Ph}\space =\space \dfrac{L_{Ph}\space *\space c^2}{G} für die Planck-Masse aus h

\Box\space \space m_{Ph2}\space =\space \dfrac{L_{Ph2}\space *\space c^2}{G} für die Planck-Masse aus \dfrac{h}{2}

\Box\space \space m_{Phq}\space =\space \dfrac{L_{Phq}\space *\space c^2}{G} für die Planck-Masse aus \hbar

\Box\space \space m_{Phq2}\space =\space \dfrac{L_{Phq2}\space *\space c^2}{G} für die Planck-Masse aus \dfrac{\hbar}{2}

leer

leer

leer

leer

leer

Leider sind wir hier nicht fertig. Denn es gibt nun noch die Möglichkeit, das wir das „Halbieren“ hier in der Rechnung mit den Planck-Längen machen müssen. Daher kommen nochmals zwei Varianten dazu h und \hbar die in dieser Rechnung erst halbiert werden.

\Box\space \space m_{Phm2}\space =\space \dfrac{\dfrac{L_{Ph}}{2}\space *\space c^2}{G} für die Planck-Masse aus h

\Box\space \space m_{Phqm2}\space =\space \dfrac{\dfrac{L_{Phq}}{2}\space *\space c^2}{G} für die Planck-Masse aus \hbar

leer

leer

leer

In der nächsten Rechnung können wir dann keine weiteren Varianten erhalten. Die Masse können wir nicht einfach halbieren. Dort beginnen wir mit der Analyse, welche Planck-Länge richtig ist und an welcher Stelle das \frac{1}{2}sich am besten ergibt. Insgesamt sieht man schon, dass alle Varianten in der gleichen Größenordnung sind. Der kleine Unterschied wird jetzt aber relevant.

Unterschied von Gravitation zu elektrischer Ladung mit den Faktoren

Hier wird in einer Rechnung die Kraft der elektrischen Ladung zur Gravitation vergleichen. Die Rechnung an sich ist wieder einfach.

Die Gravitationskraft ist gegeben durch F\space =\space \dfrac{G\space *\space m_1\space *\space m_2}{r^2}

Die Kraft im Elektrischen Feld ist gegeben durchF\space =\space \dfrac{1}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0}\space *\space \dfrac{e\space *\space e\space}{r^2}

Dabei sind bei der Gravitation m_1\space und\space m_2 die Masse welche vergleichen werden. In unseren Fall die Planck-Masse m_P. Daher können wir einfach m_P^2 schreiben. Alle anderen Werte in der Rechnung sind Konstanten und können sich nicht verändern. e ist die Ladung und in unseren Fall bei identischen Teilchen, wie bei der Masse auch hier e^2. Wir gehen wie bei jedem Teilchen von der Elementarladung aus. \epsilon_0 ist die Elektrische Feldkonstante. Man sieht sofort, dass sich das Abstandsquadrat kürzt. Der Vergleich ist nicht von der Entfernung der Teilchen abhängig. Da wir einen Kräftevergleich haben wollen, setzen wir die Formeln nicht gleich sondern dividieren diese. Wir setzen da elektrische Feld als Zähler fest.

Hier nicht aufhören! Wir können für m_P unsere obere Herleitung weiter einsetzen und kürzen weiter.

%vergleich umfromung \implies\space \space \dfrac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space G\space *\space \bigg(\dfrac{l_P\space *\space c^2}{G}\bigg)^2}    Ausdruck für die Plack-Masse wieder einsetzen

%vergleich umfromung \implies\space \space \dfrac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space \dfrac{l_P^2\space *\space c^4}{G}}    quadrieren und ein G kürzen

%vergleich umfromung \implies\space \space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space l_P^2\space *\space c^4}    das übrige G kommt nach oben

%vergleich umfromung \implies\space \space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space \bigg(\sqrt{\dfrac{h\space *\space G}{c^3}}\bigg)^2\space *\space c^4}    für l_P^2 unsere Umrechnung von h einsetzen

%vergleich umfromung \implies\space \space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space \dfrac{h\space *\space G}{c^3}\space *\space c^4}    Wurzel und Quadrat heben sich auf

%vergleich umfromung \implies\space \space \dfrac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space h\space *\space c}    G und c kürzen

Das erstaunliche an dieser Beschreibung ist, dass der Vergleich der Kraft vom Elektrischen Feld zum Gravitationsfeld, ohne eine direkte Masse auskommt. Wir hätten uns den Umweg über die Länge und die Masse sparen können. Als Ergebnis steht direkt die Definition der dimensionslosen Feinstrukturkonstante von Sommerfeld da. Wir rechnen aber alle 6 Varianten durch.

leer

\Box\space \space Vl_{Ph}\space =\space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space l_{Ph}^2\space *\space c^4} für die Planck-Länge aus h

\Box\space \space Vl_{Ph}\space =\space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space l_{Ph2}^2\space *\space c^4} für die Planck-Länge aus \dfrac{h}{2}

\Box\space \space Vl_{Ph}\space =\space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space l_{Phq}^2\space *\space c^4} für die Planck-Länge aus \hbar

\Box\space \space Vl_{Ph}\space =\space \dfrac{e^2\space *\space G}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space l_{Phq2}^2\space *\space c^4} für die Planck-Länge aus \dfrac{\hbar}{2}

leer

leer

leer

leer

leer

Bei den letzten zwei Möglichkeiten haben wir in der Berechnung der Planck-Masse eine Änderung vorgenommen. Daher müssen wir mit der Formel rechnen, welche die Planck-Masse enthält.

\Box\space \space Vl_{Phm2}\space =\space \dfrac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space G\space *\space m_{Phm2}^2} für die Planck-Masse aus \dfrac{h}{2}

\Box\space \space Vl_{Phqm2}\space =\space \dfrac{e^2}{4\space *\space \pi\space *\space \epsilon_0\space *\space G\space *\space m_{Phqm2}^2} für die Planck-Masse aus \dfrac{\hbar}{2}

leer

leer

leer

Die Ergebnisse mit Vl_{Ph}\space und\space Vl_{Phq} machen Sinn. Diese sind die Feinstrukturkonstanten ca. \frac{1}{137}. Nur eben mit der Differenz von 2\pi. Dies ist nur ein Umrechnungsfaktor. Daher ist es egal ob h oder \hbar als Grundkonstante gezogen wird. Der Faktor \frac{1}{2} darf allerdings nicht in die Definition mit aufgenommen werden. Es kommen nicht die passenden Ergebnisse heraus. Daher ist der erste Ansatz, dass der Faktor \frac{1}{2} über die Definition der Planck-Länge kommt nicht richtig. Sorry, für den langen Umweg. Dies ist eine wichtige Aussage. Die gesamte Planck-Skala kann in der DP genau gleich zur QFT angewendet werden. Die kleinste Schranke in der QFT von \frac{h}{2} muss daher noch einen zusätzliche Bedingung enthalten. Diese folgt nicht direkt aus der Definition der Planck-Länge. Wir benötigen eine zusätzliche Bedingung.

Ansatz für Faktor \frac{1}{2} über die DRD und die Quantisierung

Im ersten Ansatz gingen wir davon aus, dass die Wellenlänge \lambda der Planck-Länge l_P entspricht. Die Rechnung hat auch gut funktioniert. Daraus folgt, dass der Faktor \frac{1}{2} zusätzlich auf die gegeben Betrachtung angewendet werden muss. Da in der DRD und der QFT ein Photon eine Welle ist, schauen wir uns einfach eine Sinuswelle an.